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千江不渡 七六二 817 字 2023-05-12

周不渡哭笑不得:“不慌,就先从开方作法本源图说起。浣川也来听听?数学没你想的那么艰深。”

浣川刚想开溜,被逮了个正着,在另外两人的注视下坐了回来,认命听天书。

开方作法本源图,原为贾宪所作,是用来做开方运算的算表,后被杨辉引用,成了闻名于世的杨辉三角,本质其实是指数为正整数的二项式展开系数表。

周不渡对照这幅图画,用数字符号列出二项式,说二项式展开定理,证明其可推广到有理指数的情形,换言之,杨辉三角还可以放大扩展。

继而说直角坐标系,将几何与代数结合,得到单位圆面积的方程及相关公式。

再引入微积分来做推导。自然,这门学问是不可能轻易说明白的,诸如拉氏定理、运动与时间的概念,对古人而言还太陌生。但割圆术古已有之,关于极限、无穷小量、曲边图形的面积,多少能谈一谈。

最后,用推广的二项式定理结合微积分,不仅能求得圆周率,而且可以将其精确到小数点后的任意位数。

若再深入,还可以改变积分区间,加快收敛速度。

至于什么是“收敛”?王求的正负开方术损益之法就是二阶收敛的,若是不信,可从几何方面分析证明,类似于切线法,如此如此、这般这般……

周不渡以上所展示的,其实就是牛顿计算圆周率的整个过程。

伦敦大瘟疫期间,二十出头的牛顿在家里研究出了微积分,当时他称之为“流数术”,为整个世界打开了“新世界的大门”。

虽然莱布尼茨也独立发现了更简洁准确的微积分、更好用的符号,但牛顿创立的科学分析方法、他的思想观念与洞见,才是周不渡最想教给王求的。